問題描述
現(xiàn)有一個有向無權(quán)圖。如下圖所示：
問題：使用某個頂點s作為輸入?yún)?shù)，找出從s到所有其他頂點的最短路徑。
說明：因為是無權(quán)圖，因此我們可以為每臺邊賦值為1。這里選擇v3為s作為起點。
問題分析
此時立刻可以說，從s到v3的最短路徑是長為0的路徑，標記此信息，得到下圖。
現(xiàn)在開始尋找從s出發(fā)距離為1的頂點。這些頂點肯定是與s鄰接的頂點，很明顯，v1，v6從s出發(fā)只需要一條邊就到了。所以，從s出發(fā)距離為1的頂點，為v1,v6。
現(xiàn)在開始尋找從s出發(fā)距離為2的頂點。這些頂點肯定是與v1,v6（距離為1的頂點）鄰接的頂點。發(fā)現(xiàn)與v1鄰接的頂點為v2,v4，與v6鄰接的頂點沒有（不能往回走，沒有出邊）。所以，從s出發(fā)距離為2的頂點，為v2,v4。
最后，考察與v2,v4鄰接的頂點，即v5,v7。所以，從s出發(fā)距離為3的頂點，為v5,v7。
這種搜索圖的方法稱為廣度優(yōu)先搜索（breadth-first search）。按層處理頂點，距離起點近的頂點先處理，距離起點遠的后處理。
偽代碼（處理節(jié)點）
void unweighted(Vertex s){
QueueVertex> q = new QueueVertex>();
//把每個頂點的距離設為無窮大
for each Vertex v
v.dist = INFINITY
//將起點的距離設為0
s.dist = 0;
//起點入隊，作為算法的開始
q.enqueue(s);
//只要隊列不為空，便繼續(xù)循環(huán)
while( !q.isEmpty() ){
//獲得出隊頂點
Vertex v = q.dequeue();
//對與v鄰接的每個頂點進行處理
for each Vertex w adjacent to v
if(w.dist == INFINITY){
w.dist = v.dist + 1;
w.path = v;//代表w的上一個經(jīng)過的頂點為v
//完成操作后，便入隊，以用來接著分析與w鄰接的頂點們
q.enqueue( w );
}
}
}
實現(xiàn)過程
從s開始到頂點的距離放到dv列里，pv列用來代表，當前行代表的頂點的上一個經(jīng)過的頂點。known列代表此頂點已經(jīng)被處理過了。
初始化時，將起點的距離設置為0，且所有的頂點都不是know的。
結(jié)合偽代碼進行分析：
【1】當?shù)谝淮窝h(huán)中，出隊的是v3（每次循環(huán)只出隊一個頂點）
【2】而第一次循環(huán)結(jié)束時，就是上表中“v3出隊后”的數(shù)據(jù)情況，如下
【3】此時，對v3的鄰接的頂點們都作了處理，所以v3就從F變成了T（即已知）
【4】與v3鄰接的頂點v1,v6都作了處理，dv都變成了1，pv都為v3
【5】而因為與v1,v6的鄰接頂點都還沒有開始處理呢，所以v1,v6的F還不能變成T
得到無權(quán)最短路徑
通過觀察圖，可以發(fā)現(xiàn)有兩條路徑長為3的最短路徑。
【1】v3 => v1 => v2 => v5
【2】v3 => v1 => v4 => v7
我們可以通過數(shù)據(jù)變化表的最終情況來找到這兩條路徑。
注意，第一行代表v1，以此類推。
以找到v3 => v1 => v2 => v5路徑為例，過程如下：
【1】找到距離為0的頂點，0在且只在第三行，所以第一個頂點為v3
【2】找到距離為1且pv為v3的頂點，有第一行和第六行，這里必須選一個，這里選第一行，所以第二個頂點為v1
【3】找到距離為2且pv為v1的頂點，有第二行和第四行，這里選第二行，所以第三個頂點為v2
【4】找到距離為3且pv為v2的頂點，只有第五行，所以第四個頂點為v5
【5】找到距離為4且pv為v5的頂點，沒有，結(jié)束。
其實，以上步驟，是給出了，在對頂點進行數(shù)據(jù)處理后，找出無權(quán)最短路徑的算法的思想。
其實可以，維護一些頂點間指針，用來指向下一個頂點，這樣就可以用遞歸的思路來做，從起點開始，每遞歸到下一層距離dv便加1，用一個中間變量存儲經(jīng)過的頂點，每調(diào)用一次遞歸，便打印這個中間變量，這樣，便能得到所有的無權(quán)最短路徑。
這里得到無權(quán)最短路徑的偽代碼也不給出了，以上分析供大家理解參考。
代碼實現(xiàn)
紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行！還是覺得用代碼實現(xiàn)一遍比較好。
from queue import Queue
class Vertex:
#頂點類
def __init__(self,vid,outList):
self.vid = vid#出邊
self.outList = outList#出邊指向的頂點id的列表，也可以理解為鄰接表
self.know = False#默認為假
self.dist = float('inf')#s到該點的距離,默認為無窮大
self.prev = 0#上一個頂點的id，默認為0
#創(chuàng)建頂點對象
v1=Vertex(1,[2,4])
v2=Vertex(2,[4,5])
v3=Vertex(3,[1,6])
v4=Vertex(4,[3,5,6,7])
v5=Vertex(5,[7])
v6=Vertex(6,[])
v7=Vertex(7,[6])
#創(chuàng)建一個長度為8的數(shù)組，來存儲頂點，0索引元素不存
vlist = [False,v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7]
def unweighted():
#起點為v3
vlist[3].dist = 0
q = Queue()
q.put(vlist[3])
while(not q.empty()):
v = q.get()#返回并刪除隊列頭部元素
for w in v.outList:
if(vlist[w].dist == float('inf')):
vlist[w].dist = v.dist + 1
vlist[w].prev = v.vid
q.put(vlist[w])
unweighted()
print('v1.prev:',v1.prev,'v1.dist',v1.dist)
print('v2.prev:',v2.prev,'v2.dist',v2.dist)
print('v3.prev:',v3.prev,'v3.dist',v3.dist)
print('v4.prev:',v4.prev,'v4.dist',v4.dist)
print('v5.prev:',v5.prev,'v5.dist',v5.dist)
print('v6.prev:',v6.prev,'v6.dist',v6.dist)
print('v7.prev:',v7.prev,'v7.dist',v7.dist)
運行結(jié)果：
與數(shù)據(jù)變化表的最終情況一致。
這里你可能會問，Vertex類的init函數(shù)中，明明有know成員，為什么在程序沒有使用know成員（在處理節(jié)點后，就把該節(jié)點的know置為Ture），因為if(vlist[w].dist == float('inf'))的判斷就相當于判斷節(jié)點的know是否為Ture，因為一個已知的節(jié)點，它的距離就肯定不是無窮大了。
然后再使用遞歸，打印出所有可能的最短路徑，把以下代碼和以上代碼合在一起就可以了。
traj_list = [3]#v3是起點直接加上
def print_traj(dist):
last = traj_list[-1]
print(traj_list,'該路徑的長度為：',vlist[last].dist)
temp_list = []#存儲下一步的選項
for i in range(1,len(vlist)):
v = vlist[i]
if((v.dist==dist) and (v.prev==last)):
temp_list.append(i)
if(len(temp_list)==0):
return#終點
#遞歸每個選項
for i in temp_list:#i為頂點的索引
traj_list.append(i)
print_traj(dist+1)
traj_list.pop()
print_traj(1)
到此這篇關于python3實現(xiàn)無權(quán)最短路徑的方法的文章就介紹到這了,更多相關python3 無權(quán)最短路徑內(nèi)容請搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關文章希望大家以后多多支持腳本之家！
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