簡介

本文將會以圖表的形式為大家講解怎么在NumPy中進行多維數據的線性代數運算。
多維數據的線性代數通常被用在圖像處理的圖形變換中，本文將會使用一個圖像的例子進行說明。

圖形加載和說明

熟悉顏色的朋友應該都知道，一個顏色可以用R，G，B來表示，如果更高級一點，那么還有一個A表示透明度。通常我們用一個四個屬性的數組來表示。

對于一個二維的圖像來說，其分辨率可以看做是一個X*Y的矩陣，矩陣中的每個點的顏色都可以用（R，G，B）來表示。

有了上面的知識，我們就可以對圖像的顏色進行分解了。

首先需要加載一個圖像，我們使用imageio.imread方法來加載一個本地圖像，如下所示：

import imageio
img=imageio.imread('img.png')
print(type(img))

上面的代碼從本地讀取圖片到img對象中，使用type可以查看img的類型，從運行結果，我們可以看到img的類型是一個數組。

class 'imageio.core.util.Array'

通過img.shape可以得到img是一個(80, 170, 4)的三維數組，也就是說這個圖像的分辨率是80*170，每個像素是一個（R，B，G，A）的數組。

最后將圖像畫出來如下所示：

import matplotlib.pyplot as plt
plt.imshow(img)

圖形的灰度

對于三維數組來說，我們可以分別得到三種顏色的數組如下所示：

red_array = img_array[:, :, 0]
green_array = img_array[:, :, 1]
blue_array = img_array[:, :, 2]

有了三個顏色之后我們可以使用下面的公式對其進行灰度變換：

Y=0.2126R + 0.7152G + 0.0722B

上圖中Y表示的是灰度。
怎么使用矩陣的乘法呢？使用 @ 就可以了：

 img_gray = img_array @ [0.2126, 0.7152, 0.0722]

現在img是一個80 * 170的矩陣。
現在使用cmap="gray"作圖：

plt.imshow(img_gray, cmap="gray")

可以得到下面的灰度圖像：

灰度圖像的壓縮

灰度圖像是對圖像的顏色進行變換，如果要對圖像進行壓縮該怎么處理呢？

矩陣運算中有一個概念叫做奇異值和特征值。

設A為n階矩陣，若存在常數λ及n維非零向量x，使得Ax=λx，則稱λ是矩陣A的特征值，x是A屬于特征值λ的特征向量。

一個矩陣的一組特征向量是一組正交向量。

即特征向量被施以線性變換 A 只會使向量伸長或縮短而其方向不被改變。

特征分解（Eigendecomposition），又稱譜分解（Spectral decomposition）是將矩陣分解為由其特征值和特征向量表示的矩陣之積的方法。

假如A是m * n階矩陣，q=min(m,n)，A*A的q個非負特征值的算術平方根叫作A的奇異值。

特征值分解可以方便的提取矩陣的特征，但是前提是這個矩陣是一個方陣。如果是非方陣的情況下，就需要用到奇異值分解了。先看下奇異值分解的定義：

A=UΣV^T

其中A是目標要分解的m * n的矩陣，U是一個 m * m的方陣，Σ 是一個m * n 的矩陣，其非對角線上的元素都是0。VTV^TVT是V的轉置，也是一個n * n的矩陣。

奇異值跟特征值類似，在矩陣Σ中也是從大到小排列，而且奇異值的減少特別的快，在很多情況下，前10%甚至1%的奇異值的和就占了全部的奇異值之和的99%以上了。也就是說，我們也可以用前r大的奇異值來近似描述矩陣。r是一個遠小于m、n的數，這樣就可以進行壓縮矩陣。

通過奇異值分解，我們可以通過更加少量的數據來近似替代原矩陣。

要想使用奇異值分解svd可以直接調用linalg.svd 如下所示：

U, s, Vt = linalg.svd(img_gray)

其中U是一個m * m矩陣，Vt是一個n * n矩陣。

在上述的圖像中，U是一個(80, 80)的矩陣，而Vt是一個(170, 170) 的矩陣。而s是一個80的數組，s包含了img中的奇異值。

如果將s用圖像來表示，我們可以看到大部分的奇異值都集中在前的部分：

這也就意味著，我們可以取s中前面的部分值來進行圖像的重構。
使用s對圖像進行重構，需要將s還原成80 * 170 的矩陣：

# 重建
import numpy as np
Sigma = np.zeros((80, 170))
for i in range(80):
    Sigma[i, i] = s[i]

使用 U @ Sigma @ Vt 即可重建原來的矩陣，可以通過計算linalg.norm來比較一下原矩陣和重建的矩陣之間的差異。

linalg.norm(img_gray - U @ Sigma @ Vt)

或者使用np.allclose來比較兩個矩陣的不同：

np.allclose(img_gray, U @ Sigma @ Vt)

或者只取s數組的前10個元素，進行重新繪圖，比較一下和原圖的區別：

k = 10
approx = U @ Sigma[:, :k] @ Vt[:k, :]
plt.imshow(approx, cmap="gray")

可以看到，差異并不是很大：

原始圖像的壓縮

上一節我們講到了如何進行灰度圖像的壓縮，那么如何對原始圖像進行壓縮呢？

同樣可以使用linalg.svd對矩陣進行分解。

但是在使用前需要進行一些處理，因為原始圖像的img_array 是一個(80, 170, 3)的矩陣--這里我們將透明度去掉了，只保留了R，B，G三個屬性。

在進行轉換之前，我們需要把不需要變換的軸放到最前面，也就是說將index=2，換到index=0的位置，然后進行svd操作：

img_array_transposed = np.transpose(img_array, (2, 0, 1))
print(img_array_transposed.shape)

U, s, Vt = linalg.svd(img_array_transposed)
print(U.shape, s.shape, Vt.shape)

同樣的，現在s是一個(3, 80)的矩陣，還是少了一維，如果重建圖像，需要將其進行填充和處理，最后將重建的圖像輸出：

Sigma = np.zeros((3, 80, 170))

for j in range(3):
    np.fill_diagonal(Sigma[j, :, :], s[j, :])

reconstructed = U @ Sigma @ Vt
print(reconstructed.shape)

plt.imshow(np.transpose(reconstructed, (1, 2, 0)))

當然，也可以選擇前面的K個特征值對圖像進行壓縮：

approx_img = U @ Sigma[..., :k] @ Vt[..., :k, :]
print(approx_img.shape)
plt.imshow(np.transpose(approx_img, (1, 2, 0)))

重新構建的圖像如下：

對比可以發現，雖然損失了部分精度，但是圖像還是可以分辨的。

總結

圖像的變化會涉及到很多線性運算，大家可以以此文為例，仔細研究。

到此這篇關于NumPy實現多維數組中的線性代數的文章就介紹到這了,更多相關NumPy 多維數組線性代數內容請搜索腳本之家以前的文章或繼續瀏覽下面的相關文章希望大家以后多多支持腳本之家！