算法引進(jìn)：

在這里我直接引用《大話(huà)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)》里面的開(kāi)頭：

在前面講到 簡(jiǎn)單選擇排序 ，它在待排序的 n 個(gè)記錄中選擇一個(gè)最小的記錄需要比較 n - 1 次，本來(lái)這也可以理解，查找第一個(gè)數(shù)據(jù)需要比較這么多次是正常的，否則如何知道他是最小的記錄。

可惜的是，這樣的操作并沒(méi)有把每一趟的比較結(jié)果保存下來(lái)，在后一趟的比較重，有許多比較在前一趟已經(jīng)做過(guò)了，但由于前一趟排序時(shí)未保存這些比較結(jié)果，所以后一趟排序時(shí)又重復(fù)執(zhí)行了這些比較操作，因而記錄的比較次數(shù)較多。

如果可以做到每次在選擇到最小記錄的同時(shí)，并根據(jù)比較結(jié)果對(duì)其他記錄做出相應(yīng)的調(diào)整，那樣排序的總體效率就會(huì)非常高了。而堆排序，就是對(duì)簡(jiǎn)單選擇排序進(jìn)行的一種改進(jìn)，這種改進(jìn)的效果是非常明顯的。

基本思想：

在介紹堆排序之前，我們先來(lái)介紹一下堆：

《大話(huà)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)》里的定義：堆 是具有下列性質(zhì)的完全二叉樹(shù)：每個(gè)節(jié)點(diǎn)的值都大于或等于其左右孩子節(jié)點(diǎn)的值，成為大頂堆（大根堆）；或者每個(gè)節(jié)點(diǎn)的值都小于或等于其左右節(jié)點(diǎn)的值，成為小頂堆（小根堆）。

當(dāng)時(shí)我在看到這里的時(shí)候也對(duì)有“堆是否是完全二叉樹(shù)”有過(guò)疑問(wèn)，網(wǎng)上也有說(shuō)不是完全二叉樹(shù)的，但是無(wú)論堆是不是完全二叉樹(shù)，尚且保留意見(jiàn)。我們只要知道，在這里我們采用完全二叉樹(shù)形式的大根堆（小跟堆），主要是為了方便存儲(chǔ)和計(jì)算（后面我們會(huì)看到帶來(lái)的便利）。

堆排序算法：

堆排序就是利用堆（假設(shè)利用大根堆）進(jìn)行排序的方法，它的基本思想是：將待排序的序列構(gòu)造成一個(gè)大根堆。此時(shí)，整個(gè)序列的最大值就是堆頂?shù)母?jié)點(diǎn)。將它移走（其實(shí)就是將其與堆數(shù)組的末尾元素交換，此時(shí)末尾元素就是最大值），然后將剩余的 n - 1 個(gè)序列重新構(gòu)造成一個(gè)堆，這樣就會(huì)得到 n 個(gè)元素中的次小的值。如此反復(fù)執(zhí)行，便能得到一個(gè)有序序列了。

大根堆排序算法的基本操作：

①建堆，建堆是不斷調(diào)整堆的過(guò)程，從 len/2 處開(kāi)始調(diào)整，一直到第一個(gè)節(jié)點(diǎn)，此處 len 是堆中元素的個(gè)數(shù)。建堆的過(guò)程是線(xiàn)性的過(guò)程，從 len/2 到 0 處一直調(diào)用調(diào)整堆的過(guò)程，相當(dāng)于 o(h1) + o(h2) …+ o(hlen/2) 其中 h 表示節(jié)點(diǎn)的深度， len/2 表示節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，這是一個(gè)求和的過(guò)程，結(jié)果是線(xiàn)性的 O(n)。

②調(diào)整堆：調(diào)整堆在構(gòu)建堆的過(guò)程中會(huì)用到，而且在堆排序過(guò)程中也會(huì)用到。利用的思想是比較節(jié)點(diǎn)i和它的孩子節(jié)點(diǎn) left(i) , right(i)，選出三者最大(或者最小)者，如果最大（小）值不是節(jié)點(diǎn)i而是它的一個(gè)孩子節(jié)點(diǎn)，那邊交互節(jié)點(diǎn)i和該節(jié)點(diǎn)，然后再調(diào)用調(diào)整堆過(guò)程，這是一個(gè)遞歸的過(guò)程。調(diào)整堆的過(guò)程時(shí)間復(fù)雜度與堆的深度有關(guān)系，是 lgn 的操作，因?yàn)槭茄刂疃确较蜻M(jìn)行調(diào)整的。

③堆排序：堆排序是利用上面的兩個(gè)過(guò)程來(lái)進(jìn)行的。首先是根據(jù)元素構(gòu)建堆。然后將堆的根節(jié)點(diǎn)取出(一般是與最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行交換)，將前面 len-1 個(gè)節(jié)點(diǎn)繼續(xù)進(jìn)行堆調(diào)整的過(guò)程，然后再將根節(jié)點(diǎn)取出，這樣一直到所有節(jié)點(diǎn)都取出。堆排序過(guò)程的時(shí)間復(fù)雜度是 O(nlgn)。因?yàn)榻ǘ训臅r(shí)間復(fù)雜度是 O(n)（調(diào)用一次）；調(diào)整堆的時(shí)間復(fù)雜度是 lgn，調(diào)用了 n-1 次，所以堆排序的時(shí)間復(fù)雜度是 O(nlgn)。

在這個(gè)過(guò)程中是需要大量的圖示才能看的明白的，但是我懶。。。。。。

算法實(shí)現(xiàn)：

?php

//堆排序（對(duì)簡(jiǎn)單選擇排序的改進(jìn)）

function swap(array $arr,$a,$b){
 $temp = $arr[$a];
 $arr[$a] = $arr[$b];
 $arr[$b] = $temp;
}

//調(diào)整 $arr[$start]的關(guān)鍵字，使$arr[$start]、$arr[$start+1]、、、$arr[$end]成為一個(gè)大根堆（根節(jié)點(diǎn)最大的完全二叉樹(shù)）
//注意這里節(jié)點(diǎn) s 的左右孩子是 2*s + 1 和 2*s+2 （數(shù)組開(kāi)始下標(biāo)為 0 時(shí)）
function HeapAdjust(array $arr,$start,$end){
 $temp = $arr[$start];
 //沿關(guān)鍵字較大的孩子節(jié)點(diǎn)向下篩選
 //左右孩子計(jì)算（我這里數(shù)組開(kāi)始下標(biāo)識(shí) 0）
 //左孩子2 * $start + 1，右孩子2 * $start + 2
 for($j = 2 * $start + 1;$j = $end;$j = 2 * $j + 1){
  if($j != $end  $arr[$j]  $arr[$j + 1]){
   $j ++; //轉(zhuǎn)化為右孩子
  }
  if($temp >= $arr[$j]){
   break; //已經(jīng)滿(mǎn)足大根堆
  }
  //將根節(jié)點(diǎn)設(shè)置為子節(jié)點(diǎn)的較大值
  $arr[$start] = $arr[$j];
  //繼續(xù)往下
  $start = $j;
 }
 $arr[$start] = $temp;
}

function HeapSort(array $arr){
 $count = count($arr);
 //先將數(shù)組構(gòu)造成大根堆（由于是完全二叉樹(shù)，所以這里用floor($count/2)-1，下標(biāo)小于或等于這數(shù)的節(jié)點(diǎn)都是有孩子的節(jié)點(diǎn))
 for($i = floor($count / 2) - 1;$i >= 0;$i --){
  HeapAdjust($arr,$i,$count);
 }
 for($i = $count - 1;$i >= 0;$i --){
  //將堆頂元素與最后一個(gè)元素交換，獲取到最大元素（交換后的最后一個(gè)元素），將最大元素放到數(shù)組末尾
  swap($arr,0,$i); 
  //經(jīng)過(guò)交換，將最后一個(gè)元素（最大元素）脫離大根堆，并將未經(jīng)排序的新樹(shù)($arr[0...$i-1])重新調(diào)整為大根堆
  HeapAdjust($arr,0,$i - 1);
 }
}

$arr = array(9,1,5,8,3,7,4,6,2);
HeapSort($arr);
var_dump($arr);

時(shí)間復(fù)雜度分析：

它的運(yùn)行時(shí)間只要是消耗在初始構(gòu)建對(duì)和在重建堆屎的反復(fù)篩選上。

總體上來(lái)說(shuō)，堆排序的時(shí)間復(fù)雜度是 O(nlogn)。由于堆排序?qū)υ加涗浀呐判驙顟B(tài)并不敏感，因此它無(wú)論是最好、最差和平均時(shí)間復(fù)雜度都是 O(nlogn)。這在性能上顯然要遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于冒泡、簡(jiǎn)單選擇、直接插入的 O(n^2) 的時(shí)間復(fù)雜度了。

堆排序是一種不穩(wěn)定排序方法。

本篇博客參考自《大話(huà)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)》，在此僅作記錄，方便以后查閱，大神勿噴！